为什么要学数学？如何度过大学？一位北大老师的“务虚”课，句句在理

编者按

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编者按：

这是一篇写于2007年的“高等数学”课程引言，来自北京大学雷功炎老师。十多年过去，文中所谈的“为什么要学数学”以及“如何度过大学”等话题，依然叩击人心。

雷老师从数学在素质教育中的独特作用，谈到逻辑思维在日常中的缺失；从数学与生物医学的交叉前沿，落到具体的学习方法和大学生活建议。全文没有枯燥的公式，只有一位从教数十年的师长，以“比你们早入学48年的师兄”身份，与学生推心置腹的对话。

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本文转自公众号"中国工业与应用数学会".

原编者按：

雷功炎老师行事低调、为人正直、兢兢业业，一直致力于本科《数学分析》、《高等数学》、《数学建模》等课程的教学工作。雷功炎老师的“数学模型”课程建设曾获国家级教学成果二等奖、北京市教学成果一等奖，《数学模型讲义》曾获全国普通高等学校优秀教材二等奖。

特登出此文以纪念我们永远敬爱的雷功炎老师，同时也非常感谢李若老师提供稿件!

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高等数学课程的引言

“引言”

(第一次课， 07年9月10日)

尽管学时很紧，在讲授正式课程之前，还是有必要花一次时间，与同学们交流一下表面看来属于“务虚”的内容，即为什么要学习高等数学，怎样学习高等数学，以及有关如何顺利完成从中学生活到大学生活的过渡的一些建议。首先声明，这不属于所谓的“新生入学教育”，本人不具备那样的资格， 这里只不过以一个过来人的身份， 以一个比你们早入学48年的师兄的身份谈谈个人感受，希望对大家能有些许帮助。我国著名文学家、美学家宗白华先生说过： “实则精力弥漫，虚则灵气往来”，一定程度的“务虚”是必要的。

一. 为什么要学习高等数学？

从小学一年级到现在，数学可能是在座每一位同学所花学时最多的一门课程，而且每个人由此自然而然地形成了对数学的一种看法。一般人认为数学研究的对象是数字与图形， 欧几里德几何是数学的典型代表，从古希腊时代至今，数学尽管有很大发展，但它的本质，它的形式化程序从未改变。有些人喜欢数学，但相当多的人厌恶数学，认为数学枯燥无味，是无意义的智力体操，是对人的折磨，不学数学一样可以生存。医学部的一些同学，甚至包括某些教师和医生，他们坦言，当初选择学医的部分原因就是可以回避数学。然而，这样的看法是错误的。

今日之数学与欧几里德时代已不可同日而语，无论就深度还是广度而言，数学都已发生了巨大变化，其内容、形式、思想、影响都有了极大的发展；数学研究的对象，数学运算的概念、数学结论的内容、数学适用与影响的范围、甚至数学所涉及的逻辑、数学的总体性质都发生了巨大变化。今日数学已是一株根深叶茂、枝叶挺拔、无处不在的参天大树。我们的课程只涉及基本的微积分与解析几何，就时间范围而言主要是17世纪到19世纪所发展起来的数学，它可以看作是从古典数学发展到近现代数学的一座桥梁、一个不可或缺的过渡；是理解现代科学基本概念，通向现代思想所必须的基础。问题真的如此吗？

1. 源于古希腊的教育传统

包括我国在内，今天全世界范围的现代教育来源于古希腊的传统。公元前5-4世纪， 希腊的教育已经系统化了，它包括七门课程：语法、修辞、逻辑(辩论)、算术、几何、天文、音乐。这些内容在中世纪为大学教育莫定了基础。 这种教育要教给学生的是：语言的掌握、辩论的熟练、思想的精确；这种教育的信念是：可以通过教育塑造人的个性，决定人的发展；这种教育体现了对人性完美的追求，要求学生具有全面发展的优越性，能言善辩，领袖群伦，扮演公共事物中的活跃人物。

这种教育的内容由英文 Liberal Arts所概括，现代中文译为“文科”，这是不恰当的， 是历史原因造成的（见董乐山译：西方人文主义传统）。外文表达的原意是“作为一个自由人所须掌握的学科”，它所强调的是一个健全公民素质培养所必须的课程，而不是其技术方面；我想，蔡元陪先生说“大学不是职业养成所”就是继承了这一传统。

2. 数学在素质教育中的独特作用

数学在素质教育中起着十分独特的作用，数学是人类观察认识世界的一个普遍而又独特的方法，数学所讲授的概念、定义、定理和推理实际具有超乎数学的重要意义，毫不夸张地说：数学教育会影响一个人的世界观、方法论甚至心理状态，数学告诉我们什么是理性，如何理性地对待人生。

有无数实例可以说明数学或科学发现与世界观转变的关系，其中一个重要例子就是哥白尼日心说的确立。狭义而言，这是一项天文学的进展，但天文学实际是应用数学的一个分支。在中世纪，人们认为地球是宇宙的中心，这种观念支撑了当时的宗教信仰，全能的上帝具有至高无上的地位，人类生存的唯一目的是侍奉上帝。然而日心说打碎了这一神话，上帝的宝座被推翻了，旧的世界观、人生观失效了，代之而起的是人类思想的大解放，五花八门的学说喷涌而出；当然这也带来了新的问题，人生到底应当追求什么？

在认识世界的过程中，数学有重要作用。数学培养一个人对理性、对真理的不懈追求，对原则的执着，对客观、对规律的尊重，对永恒的期盼；这种追求与执着甚至以实践者的生命为代价， 他们中的佼佼者的确已经达到超凡入圣的境界（古代阿基米德，今日佩雷尔量的例子）。

3. 数学的品格与辩证唯物主义

数学从量的角度考察万事万物，它以各种公理体系作为推理的出发点，在长期的发展中形成以高度抽象性、逻辑严密性和应用广泛性为表征的独特品格。但是须知，数学培养的是辩证唯物主义的世界观，数学思维绝对不是机械僵死的教条，绝对不是简単地套公式、背定理、做算术、抠逻辑；为说明数学既精妙又平凡，歌德尔定理是一个极好的例子。尽管逻辑是数学不可或缺的特征，但歌德尔严格证明了：在公理体系的选择上，也就是在任何一个领域的数学出生时，逻辑是无用的；在这个意义上，数学和物理学、化学、生物学等等学科一样，只能求助于外界。也就是说：数学也不能仅仅凭借其自身，说明其自身的合理性。

4. 数学方法与一般科学方法

数学方法有其显著的特点，但它与其他一切科学方法本质是一致的。现代科学本质上由以下四个相互关联的环节构成：首先是深索世界奥秘的好奇心， 然后是不盲目接受现有理论或权威所产生的质疑， 进而是在观察基础上对规律的假设或模型的构建，最终是理性指导下的实证。

科学进展实际包含两个不同的方面：一是新定律或真理的发现，二是所发现真理的验证、确认与引申。前一部分，即如何发现一个前所未知的真理， 一般而言没有统一的方法，充其量只能把握一些共同的原则； 数学的作用主要表现在上述第二方面。 数学在假设其出发点，即公理系统绝对为真的条件下，完全依靠逻辑推演导出或发现保证为真的结论，这一方法有强大的威力，自牛顿时代以来，自然科学发展不可逆转的一个趋势就是不断地数学化，先是力学、天文、物理和化学，现在已经轮到了生物学与医学。数学是自然科学的语言，是描写自然规律的工具。

不仅仅是自然科学，数学还早已进入了人文与社会科学领域。 人文与社会科学的研究方法尽管有其特点，但与一般科学方法不可能有本质差别。对这些领域笔者是门外汉，没有资格罗嗦，仅举闲时读书，从罗尔纲“师门五年记”中偶然看到的胡适先生的只言片语为佐证。胡适教导年轻人：“有几分证据说几分话”，“有一分证据可说一分话，有三分证据然后可说三分话。治史者可以作大胆的假设，然而决不作无证据的概论。”这里体现的思想与数学思想没有原则差别。

还应指出，数学不仅仅是科学，还是美学的一部分，罗素说过：“数学不仅拥有真理还拥有至高无上的美。这是一种冷峻的美，严肃的美。”数学是对统一、和谐、永恒、宁静而又千变万化的世界的追求，简单的数学符号中蕴涵着大千世界的奧秘。理想的数学是真、善、美的统一，美既是数学追求的成果，也是数学工作时的原则。

5. 逻辑训练的现实意义

事实表明，数学所强调的逻辑训练并非是庸人自扰多余的事，这只要从近年来报刊上发表的材料中随手选择几个例子就够了。无视基本逻辑是当前一个相当普遍的问题。

例子一：关于中学语文课本改車的。 报载： 去年人民教育出版社新编的语文课本中删除了有关狼牙山五壮士的内容，增添了金庸的作品“天龙八部”，引起了社会不满。人教社的一位发言人出面澄清说，狼牙山五壮士并未从教材中除去， 只不过是进入了阅读材料； 此前人教社的另一位发言人还说过，金庸的作品并未选入教材，只是编入了阅读材料。为了应对社会批评，人教社不顾了基本逻辑，阅读材料到底是不是教材呢？有人讽刺说，不是“正室”，是“偏房”。

例子二：涉及“老子”。老子“道德经”开宗明义第一句话是： “道可道，非常道，名可名，非常名。”许多学者，包括一些名家在内，对此的解释是：道，凡是可以说出来的，都不是永恒的道；名，凡是可以用叫出来的，都不是永恒的名。我校哲学系已故郭世铭教授（数学系出身）对此提出质疑，他问，老子道德经是作什么的？没有人否认是讲“道”的；那么有没有一个人会在论述他的主题之前声明：“我要讲的东西是讲不出来的，凡是讲出来的都是易变靠不住的。”？这一质疑很有道理，很多学者读书时忘记了基本逻辑。对道德经这段话的另一解释是：“道是可以说出来的，但不是通常的说法；名是可以叫出来的，但不是通常的叫法。”

例子三：一些领导讲话和报刊文章中对邓小平同志“科学技术是第一生产力”的解释。无一例外，所有的人都首先表示接受并拥护小平同志的这一论断，但随后很多人又提出要加速科学技术成果向现实生产力的转化。此处问题出现了：作为科学技术结晶的科技成果难道不是生产力吗？ 如果已经是生产力何来转化之谈？人们或许会争辩，此处强调的是现实生产力，那么同样要问：第一生产力是“不现实”的生产力吗？实际上，此处有多种可选择的替代表达，例如：加速科技成果的商品化，产业化等等。

如上的例子只是说明，数学教育，逻辑训练是重要的，一般所谓的传统思维方式联想多，思考少；想象多，实验少；比喻多，推理少；含混多，准确少，养成科学的思维方式对一切人都是必要的。

6. 今日数学与生物、医学及人文领域的结合

今日之数学已深入了生物学与医学的领域，而且在这一领域中，数学研究远远超出了医学成像和生物信息学的范围。 数学在上述后两个学科中的应用或许还没有关键性地涉及生命本质的规律，成像与物理学的关系比与生物学更密切，生物信息学使用更多的似乎是信息理论与计算机技术；今日数学在数学生物学与生物医学中获得的成果令人振奋， 通过建立数学模型以及在模型基础上的理论推演或数值模拟，人们利用数学更深入、更理性地描述、认识了很多以往没有理解的生命现象。人们不仅利用数学讨论基本的生化反应，而且开始用数学解释、模拟生物器官与发育模式的形成过程。例如不同环境下形成不同雌雄幼鱼比的噩鱼卵孵化过程，噩鱼前七颗牙齿的生长顺序，哺乳动物四肢的发育过程，血管网络的形成，伤口的愈合机制等等；人们还利用数学研究某些重要病症的机理，比如脑瘤的生长，心脏纤颤的发生，幻视的起因；人们还利用数学与计算机研究狂犬病、爱滋病以及某些寄生虫病的传播规律和预防手段。通过生物物理及生物化学的桥梁，数学与生物学和医学的结合肯定具有更光辉前景，现今已经形成一股值得重视、不可逆转的科学洪流。

为了不过分冷落选此课的中文系同学，此处简单提一下数学在语言文字研究中的应用。 从上个世纪80年代以来，计算机的语音输入、手写体输入、文字判读、语音合成等技术蓬勃发展，甚至已经开始商品化；这些发展的关键部分都是数学方法；人们已经尝试着利用数学研究作家和作品。例如研究作家的词频分布，作家的潜在词汇量，逸名作品的作者与年代等等。这些工作或许永远不能代替传统的研究途径， 但它可能从某个侧面给予我们新的启示 。

二. 对怎样学习高等数学的一些建议

从中学到大学，必须经历一个学习方法或学习习惯的转变过程，特别是数学。中学数学是重要的，但它的基本部分是数学的古典内容。即以给人深刻印象的欧氏几何而言，它是纪元前古希腊时代的成果，内容相对简单，概念、定理比较直观，易于把握。同时课下有大量的练习，即使少上几次课，不会有什么影响。更有一些同学，平时不花工夫，靠的是期末三五天的突击；还有部分同学不注意理解课程的理论部分，习惯于所谓的“题海战术”，认为这是学习数学的标准办法。为学好高等数学，所有这些都必须改变。此处有以下建议：

1. 从问题出发

无论是把握理论，还是求解问题，都要尝试着“从问题出发”，即面对的问题是什么？ 它是如何提出的，已经知道什么，需要解决什么？问题中条件和结论如何关联？结论是唯一确定的吗？然后再搞清楚：问题是如何从数学上表达的，原问题所包含的规律如何体现在数学方法或解题步骤上。所给条件是充分的？必要的？还是充要的？。即使问题解决了，也还要问：解决到什么程度，解题的关键在哪里？有没有遗留问题？可否推广，推广到什么程度，注意问题的类比和深化。

2. 注意思想严密性，养成逻辑思维

注意思想的严密性，不忽略最细微之处， 一步一个脚印，养成逻辑思维的习惯。在学习数学时，错误是难免的，但要学会从错误中学习，不轻易放过任何一个失误之处。一般而言，当你发现自已误入歧途时，往往不是你第一次走错之处，在此之前至少还隐藏有另一个错误选择或理解。因此，一定搞清楚，错在哪里，出错的根本原因何在。聪明人只是不犯第二次同样错误的人。

3. 理解重于死记

数学以逻辑为特点，但并不是说数学只要逻辑。要强调对问题的理解，反对死记硬背。所谓理解就是说如何把一个初看起来复杂的问题，通过简单清晰的步骤，化为清楚、必然的结果。在理解过程中，逻辑是重要的，但理解还包含对问题抽象表达的具体化，对典型实例的把握，对问题几何与物理的直观、类比等等方面，当然要避免绝对化。

4. 注重能力培养

要同时注意数学知识的积累与数学能力的陪养，而且更注重后者。能力是多方面的， 不仅仅是逻辑推演能力和数学表达能力；一般说来还包括观察能力、直观能力、联想能力、分析能力、综合与归纳能力等等。

罗丹说过，真正的艺术家要善于从千百人司空见惯之处看出美来。又说，拙劣的艺术家总是戴别人的眼晴。对近似或不同的数学概念与方法要学会“审同辨异”，要学会“举一反三”；要学会如何将复杂问题分解成一个一个小问题，各个击破，逐步处理；要善于从个别实例中归纳出一般规律，也善于用一般规律处理具体问题。总之，要“多思”，要把学习过程看作一个“再发现”的过程，不要怕多次反复，既要弄清局部细节，又要有总体把握，既见树木，又见森林。

学习过程还是一个正确心态与习惯的养成过程，要有自信，持之以恒，不崇拜所谓的“牛人”。

5. 学习方法建议

不建议预习， 课前看一下该讲的内容就够了。有时间考虑一下新课与旧课的逻辑关联是有益的；希望有笔记，教员的讲法与课本不会完全相同，记笔记还是一个必不可少的训练。到了高年级是不会有理想的专业课课本的。提倡首先通过复述(默述)、思考进行复习；这一步完成后或进行不下去了，再看笔记、课本或其他参考书，看的过程中要反复比较、思考不同处理间的优劣、同异；然后才是做题题，做题一定完全独立，从做题目中发现了问题要重新回到大课讲授的有关理论，弄清问题之所在。要注意每堂课后的复习与每一阶段的归纳与总结。不赞成在所留习题之外大量做题，提倡题目做“精”，不是做“多”。

课程要求以教材为准， 所有课上讲到但超出课本的部分是为了帮助大家理解，不是考试要求。

三. 关于大学生活的几点感想

如何完成从中学到大学生活的过渡，是一个多方面的问题。此处仅根据个人体会，简单说一点既不完全又不一定可靠的体会，供参考。

自主与责任

首先大学生活更自由、更独立、更自主，北大尤甚。但这不意味着可以放纵自己。要正确认识什么是成熟，什么是有主见。我们提倡学习应当带有个人特点，但不读书、游手好闲任何时代都不是楷模，莫作纨绔子弟。人生还是要有信念，有追求，要有责任感。

正确对待挫折

正确对待挫折，正确对待现实，不要迷恋过去的光环，学业上暂时的困难或失利不是什么了不起的事情。只要持之以恒，不懈努力，不断调整学习方法和心态，相信绝大多数同学都会有理想成绩。人有不同特点，只要问心无愧，不要太在意分数高低；教员也不会仅以分数论英雄。

认识北大

最后谈谈如何认识北大。我从初进北大读书至今差不多过了半个世纪，对北大有一种难以割舍的感情。但积半世之经验，深知一分为二的观点是对的，存在有两个北大：一个是科学、民主、学风淳厚、奋发向上的北大；另一个则是令人伤心、惯怒甚至不齿的北大。希望同学们继承北大的优秀传统，并将其发扬光大。

祝大家在北大生活愉快，健康成长。返回搜狐，查看更多

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